题目

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤300

输入样例：

1
2
4
1 3 5 2

输出样例：

1
22

分析

状态表示：dp[i][j]：表示将 i 到 j 合并成一堆的方案的集合，值为代价

状态计算：

  • i == j时，dp[i][j] = 0，合并一堆代价为0
  • i < j时，dp[i][j] = min(dp[i][k] + d[k + 1][j] + w)，其中i <= k < j，w为合并这两堆石子的代价

问题答案即为dp[1][n]

区间 DP 常用模版
所有的区间dp问题，第一维都是枚举区间长度，一般 len = 1 用来初始化，枚举从 len = 2 开始，第二维枚举起点 i （右端点 j 自动获得，j = i + len - 1）

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for (int i = 1; i <= n; i++) {
    dp[i][i] = 初始值
}
for (int len = 2; len <= n; len++)	//区间长度
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {	//枚举起点
        int j = i + len - 1;	//区间终点
        for (int k = i; k < j; k++) {	//枚举分割点，构造状态转移方程
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]);
        }
    }

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 310;
int s[N], dp[N][N];

int main() {
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][i] = 0;
        scanf("%d", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    for(int len = 2; len <= n; len++) 
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
            int l = i, r = i + len - 1;
            for(int k = l; k < r; k++)
                dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);            
        }
        
    printf("%d", dp[1][n]);
    return 0;
}