题目

来源：AcWing

求把N*M的棋盘分割成若干个1*2的的长方形，有多少种方案。

例如当N=2，M=4时，共有5种方案。当N=2，M=3时，共有3种方案。

如下图所示：

输入格式

输入包含多组测试用例。

每组测试用例占一行，包含两个整数N和M。

当输入用例N=0，M=0时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式

每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。

数据范围

1 ≤ N, M ≤ 11

输入样例：

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6
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8
9
1 2
1 3
1 4
2 2
2 3
2 4
2 11
4 11
0 0

输出样例：

1
2
3
4
5
6
7
8
1
0
1
2
3
5
144
51205

题解

分析

使用状态压缩DP

只考虑横着放的状态，横着放的确定了之后竖着的页确定了

f[i][j]表示横着的小方块放在第 i 列，j 表示的是将小方块放在第 i 列的状态（注意这里的小方块的摆放形式是尾放在第 i 列，头放在 i - 1 列上）。

举个例子：如果有 5 行，就有 25 种状态，f[i][20]中的 20 表示状态1 0 1 0 0，即第三、五行有小方块

状态的更新有两个条件：（f[i][j]从f[i - 1][k]转移过来）

  • 第 i 列的摆放与第 i - 1 列的摆放不能有重叠，即需要满足(j & k) == 0
  • j 这种摆放不能使前一列出现连续奇数个空格，否则竖着的小方块无法摆放

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 12, M = 1 << 12;
long long f[N][M];
bool st[M]; // 存储一列上哪些状态合法

int main() {
    int n, m;
    while(cin >> n >> m && (n || m)) {
        for(int i = 0; i < 1 << n; i++) { // 遍历所有状态，看是否满足条件2
            int cnt = 0; 	// 连续的0的个数
            st[i] = true;	// 状态i合法
            for(int j = 0; j < n; j++) {	// 遍历i的二进制每一位
                if(i >> j & 1) {	// i的第j位是1
                    if(cnt & 1) st[i] = false;	// 有奇数个0，状态不合法
                    cnt = 0;	// 清空计数器
                }
                else cnt++;
            }
            if(cnt & 1) st[i] = false;
        }
        
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;	// 第1列只有1种状态0
        for(int i = 1; i <= m; i++)	// 从2~m+1列
            for(int j = 0; j < 1 << n; j++)	// 第i列的状态
                for(int k = 0; k < 1 << n; k++)	// 第i - 1列的状态 
                    if((k & j) == 0 && st[k | j]) // 满足条件1并且满足条件2
                        f[i][j] += f[i - 1][k]; // 方案数相加
        
        printf("%lld\n", f[m][0]); // 第m + 1列状态为0即为答案
    }
    return 0;
}